数学家的思维曲线

数学家的思维曲线
2009-12-18 z钱伟的博客

柯南道尔在《三个大学生》里描述了人在用心时的踱步： 

“很好。现在，索莫斯先生，如果您愿意，我们想在庭院里走走。”

天色越来约暗，三个窗户的灯光从楼上照着我们。

“您的三只小鸟全都回窝了，”福尔摩斯抬头看着上面说。“喂！那是什么？好像有一个坐立不安呢。”
是那个印度人，他黑魖魖的轮廓突然出现在窗帘上。他正在屋里急促地来回踱步。
……
“……为什么他总在房间里走来走去呢？”
“那没什么。很多人在用心的时候都是那样的。”
借福老师的话，我们引出数学家的思维曲线。那大概也是众多思想者的足迹，不过是数学家发现的。下面的材料是数学史家Howard W. Eves整理的，见《数学圈》第二卷（Mathematical Circles Squared, MAA Spectrum Series）。

许多学者发现，有规则和节奏的踱步能集中精神，刺激思维活动——就是说，“双腿是思想的车轮”。许多大数学家也都是这样的，例如Poincare，他喜欢一边不停地踱步，一边在头脑里做数学。等问题彻底考虑清楚了，他才一口气写出来，几乎没有涂改。他工作时，周围的噪声也充耳不闻。凯莱（也许还有欧拉）也是这样做数学的。庞加勒的某些论文还保留着这种“急就章”的痕迹。

显然，踱步最方便的地方就是自己安逸而不受干扰的书房。不过，如果在寻常的书房里踱步，踱步的曲线或路径，一定满足某些非常确定的要求。我们来考察一下这种思维曲线的要求。 

1 曲线刚好在一个矩形范围内，这是常有的事情。根据是，夹在家具中的空间通常是矩形的，或者很容易变成矩形。

2 曲线是闭合的。这是显而易见的。

3 曲线应该是平面的。这一点没必要，不过是有道理的。因为产生非平面曲线很难，而且一个人在有规律、有节奏踱步时，不会想到一会儿爬上一会儿跳下。

4 曲线应该是连续的。当然，这在极限范围内是不必要的。不过它也很容易满足。因为大致说来有两种不连续性： 

a 曲线的无限分支导致的不连续。房间的维度和连续特征排除了这种不连续的可能。 

b 曲线间断导致的不连续。如果有那样的间断，从人体生理原因看，它必然小于一个人的最大跳越距离。而且，因为突然的跳越违背了有规律、有节奏的踱步，我们实际上必须令这种间断小于人的正常步子的长度。而现在的情形是，曲线是闭合的，因而，除非小心翼翼地度量每一个步子，踱步者不太可能在走完一圈之后，刚好到达一个间断点，然后跳过它走下一步。因此，走的曲线越长，那种间断的距离越小，最可能的事情就是使它变得连续。 

5 曲线应该有连续的一阶导数（除了个别可能的无穷大）。踱步的规则和节奏排除了突然的转折。转折肯定是光滑的，从而曲线必然有连续的一阶导数。

6 曲线的曲率不应该超过某个数值，如2.5英尺的圆周的曲率。显而易见，任何大的曲率都会使曲线太“尖”，不适合有规律、有节奏的踱步。

7 曲线必须至少含有两个拐点。这是因为，如果曲线总是朝着一个方向弯曲，会令人眼晕的。而含有相反曲率的闭合曲线当然必须包含偶数个拐点，这正是我们说的。

8 曲线的对称性对踱步有好处，因为对称有助于规则和节奏。

很幸运，我们在数学中找到了一条能满足以上所有要求的曲线——它确实是一条理想的激发思维的曲线。现在，我们就把伯努利的双纽线作为完美的思想曲线呈现给大家。